RECONSTRUCCIÓN DE LA PUERTA DE ISHTAR,BABILONIA,Iraq
Babilonia: donde termina la realidad y
comienza el mito
El British museum nos revela los misterios de la famosa civilización
BRITISH MUSEUM
Great Russell Street Londres (Reino Unido)
La exposición es la que estuvo en Berlín
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Uno de los cuadros de la torre de Babel que forma parte de la exposición. (Foto: EFE)
En un intento de rehabilitar la antigua civilización mesopotámica a los ojos del siglo XXI y mostrar su influencia en el mundo actual, los museos estatales de Berlín, en colaboración con el Museo del Louvre de París y el British Museum de Londres, han presentado una gran exposición internacional, ‘Babilonia: Verdad y Mitos’, ubicada en la ‘isla de los museos’ de la capital alemana y ahora en Londres.
La muestra, que ha costado un millón de euros en preparativos, se podrá ver hasta marzo y se esperan más de 300.000 visitantes.
Se trata de una “exposición doble” perfectamente diferenciada, donde se enseña por un lado la realidad de Babilonia corroborada por la Ciencia, ‘Verdad’, junto a otra visión, ‘Mitos’, que presenta los que subsisten en el imaginario, pese a que desapareción hace muchos años.
La exposición cuenta con más de 800 piezas de las que “el 50%” procede de distintos museos alemanes, y el resto de fuera del país. Desde 1899 hasta la Primera Guerra Mundial, las excavaciones arqueológicas germanas iniciadas por Robert Koldewey en la ubicación de la histórica urbe, a unos 90 kilómetros al sur de Bagdad , a orillas del Éufrates, permitieron a este país europeo hacerse con numerosos tesoros, robados para unos, salvados de la destrucción según otros.
Por ello la zona de la ‘Verdad’ en la exposición berlinesa contó con dos joyas que habitualmente se pueden ver en el Museo de Pérgamo de Berlín : la reconstruida Puerta de Ishtar, la puerta norte de la ciudad, una de las ocho con que contaba Babilonia en el reinado de Nabucodonosor II, y la Vía Procesional, decorada por figuras míticas como el dragón, muhussu, representación del dios protector de la ciudad, Marduk y los leones de la diosa Ishtar.
León de Ishtar de la Puerta de Ishtar
Muhussu de Marduk
La escritura y las estrellas
En medio del paseo se puede apreciar los restos de las murallas, que según el historiador Herodoto medían de alto “200 codos reales, tres dedos mayores que el codo común u ordinario”. Junto a decenas de objetos que confirman que en Babilonia se desarrolló extraordinariamente la antigua escritura cuneiforme sumeria, se localiza una copia del Código de Hammurabi, uno de los más antiguos textos legales que se conocen.
Y como ejemplo de la influencia de esta civilización en nuestros días la exposición de Berlín enseña que en ella ya se estudiaron las estrellas, lo que ha aportado mapas de constelaciones, calendarios y algunos fundamentos de Astronomía, Matemáticas y Medicina.
LA MATEMATICA BABILONIA
Las matemáticas Babilonias alcanzan un nivel muy alto, incluso hay autores que señalan un desarrollo mucho mayor que el alcanzado por la civilización Egipcia esto se debe principalmente a su increíble habilidad para hacer cálculos aritméticos, esto los llevo fácilmente a un amplio conocimiento de la generalización de las operaciones .
Para poder darnos una idea de su conocimiento presentaremos a manera de introducción algunos ejemplos de su conocimiento en esta área.
La diagonal del cuadradoEn la Universidad de Yale se tiene una colección de piezas referentes a la cultura Babilonia y de especial interés es la tablilla catalogada con BC7289, data del año 1600 a.C. aprox. que se muestra a continuación
Tablilla YBC 7289
4.-tomar 3 y multiplicarlo por el mismo nos da 9
5.- tomar 9 y sumarle 7 nos da 16
6.-encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea 16 que es 4
7.-restarle a 4 lo obtenido en el paso 3 entonces la solución para z es 1.
8.-la solución para x es 1/7.
En general para ecuaciones de la forma ax2+bx=c aplicando este procedimiento la podemos simplificar a una de la forma z2+pz=q haciendo z=ax p=b y q=a*c obteniendo la solución para z como la raíz cuadrada de (p/2)2+q y después restándole p/2 así para x la solución es z/a.
Usando la fórmula anterior se pueden resolver problemas como el de encontrar dos números tales que su suma sea 14 y su producto sea 45 , puesto que es equivalente plantearse la solución de la siguiente ecuación: x2-14x=-45.
Ejemplo3. Deducción de la formula de segundo grado.
Generalmente se encontraban ante este tipo de problemas que deriva el siguiente sistema de ecuaciones:
xy+x-y=3,3
x+y=27
El problema era el siguiente, el largo y el ancho multiplicados forman el área de un rectángulo, si el área sumado con el exceso de el largo sobre el ancho es 3,3 y la suma de el largo con el ancho es 27 cuál es el valor de del largo y el ancho?
Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0×2+(10,0)2)=15×2
Hacían X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2ª , X-Y=2E Sustituyendo tenemos (1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nos queda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuación de segundo grado.
Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babilonios demostraron mediante la geometría, las cuales en la actualidad las seguimos utilizando. Y son las siguientes:
1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2
c)En el rectángulo anterior está contenido
c)En el rectángulo anterior está contenido
PROBLEMA 4 REDUCCIÓN DE GRADO .
Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0×2+(10,0)2)=15×2
Hacían X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2ª , X-Y=2E Sustituyendo tenemos (1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nos queda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuación de segundo grado.
Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babilonios demostraron mediante la geometría, las cuales en la actualidad las seguimos utilizando. Y son las siguientes:
1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2
c)En el rectángulo anterior está contenido
c)En el rectángulo anterior está contenido
la tablilla interpretada
n=2n+2n-1 para el caso n=9b)
2=[1/3+(2/3)n][
] para el caso n=10
Fueron utilizadas en resolución de problemas geométricos , astronómicos y en muchos problemas mas específicamente hablando de interés compuesto.
4.-tomar 3 y multiplicarlo por el mismo nos da 9
5.- tomar 9 y sumarle 7 nos da 16
6.-encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea 16 que es 4
7.-restarle a 4 lo obtenido en el paso 3 entonces la solución para z es 1.
8.-la solución para x es 1/7.
En general para ecuaciones de la forma ax2+bx=c aplicando este procedimiento la podemos simplificar a una de la forma z2+pz=q haciendo z=ax p=b y q=a*c obteniendo la solución para z como la raíz cuadrada de (p/2)2+q y después restándole p/2 así para x la solución es z/a.
Usando la fórmula anterior se pueden resolver problemas como el de encontrar dos números tales que su suma sea 14 y su producto sea 45 , puesto que es equivalente plantearse la solución de la siguiente ecuación: x2-14x=-45.
Ejemplo3. Deducción de la formula de segundo grado.
Generalmente se encontraban ante este tipo de problemas que deriva el siguiente sistema de ecuaciones:
xy+x-y=3,3
x+y=27
El problema era el siguiente, el largo y el ancho multiplicados forman el área de un rectángulo, si el área sumado con el exceso de el largo sobre el ancho es 3,3 y la suma de el largo con el ancho es 27 cuál es el valor de del largo y el ancho?
Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0×2+(10,0)2)=15×2
Hacían X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2ª , X-Y=2E Sustituyendo tenemos (1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nos queda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuación de segundo grado.
Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babilonios demostraron mediante la geometría, las cuales en la actualidad las seguimos utilizando. Y son las siguientes:
1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2
c)En el rectángulo anterior está contenido
c)En el rectángulo anterior está contenido
PROBLEMA 4 REDUCCIÓN DE GRADO .
Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0×2+(10,0)2)=15×2
Hacían X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2ª , X-Y=2E Sustituyendo tenemos (1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nos queda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuación de segundo grado.
Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babilonios demostraron mediante la geometría, las cuales en la actualidad las seguimos utilizando. Y son las siguientes:
1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2
c)En el rectángulo anterior está contenido
c)En el rectángulo anterior está contenido
la tablilla interpretada
n=2n+2n-1 para el caso n=9b)2=[1/3+(2/3)n][] para el caso n=10
Fueron utilizadas en resolución de problemas geométricos , astronómicos y en muchos problemas mas específicamente hablando de interés compuesto.
Tablilla YBC 7289
la tablilla interpretada
n=2n+2n-1 para el caso n=9b)2=[1/3+(2/3)n][] para el caso n=10
Fueron utilizadas en resolución de problemas geométricos , astronómicos y en muchos problemas mas específicamente hablando de interés compuesto.
El planteamiento de algunos problemas generalmente de geometría, dieron origen a algunas técnicas de manejo de ecuaciones cuadráticas con dos variables y problemas con ecuaciones cúbicas reducibles a cuadráticas, sin embargo no se encontraron algebraicamente como en la actualidad, de hecho se encuentran como una serie de pasos a seguir que llevan sorprendentemente a la solución de los problemas que no se limitaba a un caso particular, si no que, si seguimos esos pasos es posible resolver una gran cantidad de ecuaciones por lo que se cree que los pasos a seguir se pueden utilizar como un algoritmo. Al estudiar cuidadosamente esta parte de la matemática Babilónica, observamos que a partir de un argumento meramente numérico se podía explotar un razonamiento abstracto que permitía la solución de las ecuaciones planteadas.
Los Babilónicos para escribir la solución y el procedimiento por el cual llegan a ella, escribían todo con palabras, aunque después usaran los ideogramas, eso no bastó para encontrar un buen lenguaje matemático. Sin embargo para ver la diferencia de razonamientos vamos a escribir la solución como lo hacían ellos y también lo transcribiremos algebraicamente.
El planteamiento de algunos problemas generalmente de geometría, dieron origen a algunas técnicas de manejo de ecuaciones cuadráticas con dos variables y problemas con ecuaciones cúbicas reducibles a cuadráticas, sin embargo no se encontraron algebraicamente como en la actualidad, de hecho se encuentran como una serie de pasos a seguir que llevan sorprendentemente a la solución de los problemas que no se limitaba a un caso particular, si no que, si seguimos esos pasos es posible resolver una gran cantidad de ecuaciones por lo que se cree que los pasos a seguir se pueden utilizar como un algoritmo. Al estudiar cuidadosamente esta parte de la matemática Babilónica, observamos que a partir de un argumento meramente numérico se podía explotar un razonamiento abstracto que permitía la solución de las ecuaciones planteadas.
Los Babilónicos para escribir la solución y el procedimiento por el cual llegan a ella, escribían todo con palabras, aunque después usaran los ideogramas, eso no bastó para encontrar un buen lenguaje matemático. Sin embargo para ver la diferencia de razonamientos vamos a escribir la solución como lo hacían ellos y también lo transcribiremos algebraicamente.
Daremos ahora algunos ejemplos de los problemas típicos planteados en ese entonces:
EJEMPLO 1.Encontrar el largo y el ancho de un rectángulo, si el largo sumado con la multiplicación de ¼ por el ancho es 7 y la suma de ellos es 10.
3.- tomar 6 y dividirlo entre 2 que es 3
4.-tomar 3 y multiplicarlo por el mismo nos da 9
5.- tomar 9 y sumarle 7 nos da 16
6.-encontrar un número que multiplicado por sí mismo sea 16 que es 4
7.-restarle a 4 lo obtenido en el paso 3 entonces la solución para z es 1.
8.-la solución para x es 1/7.
En general para ecuaciones de la forma ax2+bx=c aplicando este procedimiento la podemos simplificar a una de la forma z2+pz=q haciendo z=ax p=b y q=a*c obteniendo la solución para z como la raíz cuadrada de (p/2)2+q y después restándole p/2 así para x la solución es z/a.
Usando la fórmula anterior se pueden resolver problemas como el de encontrar dos números tales que su suma sea 14 y su producto sea 45 , puesto que es equivalente plantearse la solución de la siguiente ecuación: x2-14x=-45.
Ejemplo3. Deducción de la formula de segundo grado.
Generalmente se encontraban ante este tipo de problemas que deriva el siguiente sistema de ecuaciones:
xy+x-y=3,3
x+y=27
El problema era el siguiente, el largo y el ancho multiplicados forman el área de un rectángulo, si el área sumado con el exceso de el largo sobre el ancho es 3,3 y la suma de el largo con el ancho es 27 cuál es el valor de del largo y el ancho?
PROBLEMA 4 REDUCCIÓN DE GRADO .
Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0×2+(10,0)2)=15×2
Hacían X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2ª , X-Y=2E Sustituyendo tenemos (1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nos queda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuación de segundo grado.
Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babilonios demostraron mediante la geometría, las cuales en la actualidad las seguimos utilizando. Y son las siguientes:
1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2
c)En el rectángulo anterior está contenido
c)En el rectángulo anterior está contenido
PROBLEMA 4 REDUCCIÓN DE GRADO .
Para reducir el grado de 1/3(x3+10,0x)-(0;1)(x4-20,0×2+(10,0)2)=15×2
Hacían X=A+E , Y=A-E de donde X+Y=2ª , X-Y=2E Sustituyendo tenemos (1/3) A (0;1)E2 =15 A2-E2=10,0 entonces E2=A2-10.0 y sustituyendo nos queda (1/3)A-0;1(A2-10,0)=15 que es una ecuación de segundo grado.
Ahora vamos a analizar algunas identidades algebraicas que los babilonios demostraron mediante la geometría, las cuales en la actualidad las seguimos utilizando. Y son las siguientes:
1)(a+b)(a-b)=a2-b22)(a+b)2=a2+2ab+b23)(a-b)2=a2-2ab+b2
c)En el rectángulo anterior está contenido
c)En el rectángulo anterior está contenido
El ‘lado oscuro’ de Babilonia, amplificado por el pensamiento cristiano, queda reflejado en el apartado ‘Mitos’. Pinturas, esculturas, carteles, películas y maquetas de la supuesta Torre de Babel enseñan una lúdica Babilonia a lo largo de la Historia donde la maldad, el pecado y la decadencia campan a sus anchas. Y por supuesto enfrentada a Dios. De ahí su castigo bíblico.
Uno de los cuadros de la torre de Babel que forma parte de la exposición. (Foto: EFE)
En un intento de rehabilitar la antigua civilización mesopotámica a los ojos del siglo XXI y mostrar su influencia en el mundo actual, los museos estatales de Berlín, en colaboración con el Museo del Louvre de París y el British Museum de Londres, han presentado una gran exposición internacional, ‘Babilonia: Verdad y Mitos’, ubicada en la ‘isla de los museos’ de la capital alemana y ahora en Londres.
La muestra, que ha costado un millón de euros en preparativos, se podrá ver hasta marzo y se esperan más de 300.000 visitantes.
Se trata de una “exposición doble” perfectamente diferenciada, donde se enseña por un lado la realidad de Babilonia corroborada por la Ciencia, ‘Verdad’, junto a otra visión, ‘Mitos’, que presenta los que subsisten en el imaginario, pese a que desapareción hace muchos años.
La exposición cuenta con más de 800 piezas de las que “el 50%” procede de distintos museos alemanes, y el resto de fuera del país. Desde 1899 hasta la Primera Guerra Mundial, las excavaciones arqueológicas germanas iniciadas por Robert Koldewey en la ubicación de la histórica urbe, a unos 90 kilómetros al sur de Bagdad , a orillas del Éufrates, permitieron a este país europeo hacerse con numerosos tesoros, robados para unos, salvados de la destrucción según otros.
Por ello la zona de la ‘Verdad’ en la exposición berlinesa contó con dos joyas que habitualmente se pueden ver en el Museo de Pérgamo de Berlín : la reconstruida Puerta de Ishtar, la puerta norte de la ciudad, una de las ocho con que contaba Babilonia en el reinado de Nabucodonosor II, y la Vía Procesional decorado por figuras míticas como el dragón, muhussu, representación del entonces dios protector de la ciudad, Marduk y los leones de la diosa Ishtar.
León de Ishtar de la Puerta de Ishtar
La escritura y las estrellas
En medio del paseo se puede apreciar los restos de las murallas, que según el historiador Herodoto medían de alto “200 codos reales, tres dedos mayores que el codo común u ordinario”. Junto a decenas de objetos que confirman que en Babilonia se desarrolló uno de los primeros sistemas de escritura, la cuneiforme, se localiza una copia del Código de Hammurabi, uno de los más remotos textos legales que se conocen.
Y como ejemplo de la influencia de esta civilización en nuestros días la exposición de Berlín enseña que en ella ya se estudiaron las estrellas, lo que ha aportado mapas de constelaciones, calendarios y algunos fundamentos de Astronomía, Matemáticas y Medicina. Incluso una de las primeras representaciones eróticas que se conocen, en un relieve sobre terracota, fue concebida en esa civilización. Por no hablar de su monoteísmo centrado en el dios Marduk.
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La reconstruida Puerta de Ishtar, de permanente exposición en el museo de Pérgamo. (Foto: EFE)
Destacable es la proyección del filme ‘Intolerancia’ (1916), de D. H. Griffith, una de las películas más caras de la historia del cine y donde el director estadounidense construyó gigantescos decorados para mostrar una Babilonia abandonada a la pasión desenfrenada e intolerante.
Todos estos ‘Mitos’, explica Schuster, son enderezados en el apartado de la ‘Verdad’. Allí se devuelve a Nabucodonosor II su papel de gran estadista y amante de la belleza, que en la segunda parte de su reinado llevó a Babilonia a su máximo esplendor. Atrás queda la imagen de bestia sangrienta más ocupada en reprimir y conquistar a otros pueblos.
Durante mi visita a Babilonia , delante de la reconstrucción de la Puerta de Ishtar
La bíblica destrucción de la Torre de Babel por ve , que condena a los hombres a hablar un millar de lenguas distintas, puede tener una explicación en que durante el reinado del monarca caldeo Babilonia se había convertido en una ciudad multicultural por su tolerancia, en cuyas calles de podían escuchar todas las lenguas del mundo, desde el acadio-babilonia y arameo a la egipcia, el persa o el griego.
El ‘lado oscuro’ de Babilonia, amplificado por el pensamiento cristiano, queda reflejado en el apartado ‘Mitos’. Pinturas, esculturas, carteles, películas y maquetas de la supuesta Torre de Babel enseñan una lúdica Babilonia a lo largo de la Historia donde la maldad, el pecado y la decadencia campan a sus anchas. Y por supuesto enfrentada a Dios. De ahí su castigo bíblico.
Uno de los cuadros de la torre de Babel que forma parte de la exposición. (Foto: EFE)
En un intento de rehabilitar la antigua civilización mesopotámica a los ojos del siglo XXI y mostrar su influencia en el mundo actual, los museos estatales de Berlín, en colaboración con el Museo del Louvre de París y el British Museum de Londres, han presentado una gran exposición internacional, ‘Babilonia: Verdad y Mitos’, ubicada en la ‘isla de los museos’ de la capital alemana y ahora en Londres.
La muestra, que ha costado un millón de euros en preparativos, se podrá ver hasta marzo y se esperan más de 300.000 visitantes.
Se trata de una “exposición doble” perfectamente diferenciada, donde se enseña por un lado la realidad de Babilonia corroborada por la Ciencia, ‘Verdad’, junto a otra visión, ‘Mitos’, que presenta los que subsisten en el imaginario, pese a que desapareción hace muchos años.
La exposición cuenta con más de 800 piezas de las que “el 50%” procede de distintos museos alemanes, y el resto de fuera del país. Desde 1899 hasta la Primera Guerra Mundial, las excavaciones arqueológicas germanas iniciadas por Robert Koldewey en la ubicación de la histórica urbe, a unos 90 kilómetros al sur de Bagdad , a orillas del Éufrates, permitieron a este país europeo hacerse con numerosos tesoros, robados para unos, salvados de la destrucción según otros.
Por ello la zona de la ‘Verdad’ en la exposición berlinesa contó con dos joyas que habitualmente se pueden ver en el Museo de Pérgamo de Berlín : la reconstruida Puerta de Ishtar, la puerta norte de la ciudad, una de las ocho con que contaba Babilonia en el reinado de Nabucodonosor II, y la Vía Procesional decorado por figuras míticas como el dragón, muhussu, representación del entonces dios protector de la ciudad, Marduk y los leones de la diosa Ishtar.
León de Ishtar de la Puerta de Ishtar
La escritura y las estrellas
En medio del paseo se puede apreciar los restos de las murallas, que según el historiador Herodoto medían de alto “200 codos reales, tres dedos mayores que el codo común u ordinario”. Junto a decenas de objetos que confirman que en Babilonia se desarrolló uno de los primeros sistemas de escritura, la cuneiforme, se localiza una copia del Código de Hammurabi, uno de los más remotos textos legales que se conocen.
Y como ejemplo de la influencia de esta civilización en nuestros días la exposición de Berlín enseña que en ella ya se estudiaron las estrellas, lo que ha aportado mapas de constelaciones, calendarios y algunos fundamentos de Astronomía, Matemáticas y Medicina. Incluso una de las primeras representaciones eróticas que se conocen, en un relieve sobre terracota, fue concebida en esa civilización. Por no hablar de su monoteísmo centrado en el dios Marduk.
La reconstruida Puerta de Ishtar, de permanente exposición en el museo de Pérgamo. (Foto: EFE)
Destacable es la proyección del filme ‘Intolerancia’ (1916), de D. H. Griffith, una de las películas más caras de la historia del cine y donde el director estadounidense construyó gigantescos decorados para mostrar una Babilonia abandonada a la pasión desenfrenada e intolerante.
Todos estos ‘Mitos’, explica Schuster, son enderezados en el apartado de la ‘Verdad’. Allí se devuelve a Nabucodonosor II su papel de gran estadista y amante de la belleza, que en la segunda parte de su reinado llevó a Babilonia a su máximo esplendor. Atrás queda la imagen de bestia sangrienta más ocupada en reprimir y conquistar a otros pueblos.
Durante mi visita a Babilonia , delante de la reconstrucción de la Puerta de Ishtar
La bíblica destrucción de la Torre de Babel por ve , que condena a los hombres a hablar un millar de lenguas distintas, puede tener una explicación en que durante el reinado del monarca caldeo Babilonia se había convertido en una ciudad multicultural por su tolerancia, en cuyas calles de podían escuchar todas las lenguas del mundo, desde el acadio-babilonia y arameo a la egipcia, el persa o el griego.
c)La columna IV corresponde a la siguiente formula: csc2q =c2/a2 Con respecto a la columna IV se observa un decrecimiento regular, lo cual indica que los ángulos del triangulo rectángulo dado a continuación varían de la siguiente forma:
31° £ q £ 45°
31° £ g £ 45°
Como la relación mencionada en el inciso b) corresponde al teorema de Pitágoras a las ternas (a,b,c) Neugebauer los llamo ternas Pitagóricas.
Ahora surge la siguiente pregunta:
¿Cómo encontraron los Babilonios las ternas Pitagóricas ?
Dichas ternas se encontraron a partir de las siguientes ecuaciones parametricas: a=2uv, b=u2-v2 y c=u2+v2.
Las parejas u,v se eligen de tal manera que cumplan las siguientes condiciones:
a)u y v son primos relativos
b)Son de paridad diferente
3)Siguiendo la ecuaciones parametricas tenemos:
a=2(12)(5)=120 , b=(12)2-(5)2=119 y c=(12)2+(5)2=169
4)Es así como se genera la primer terna pitagórica (a,b,c)=(120,119,169).
5)El primer elemento de la columna IV se obtiene al realizar el cociente:
c2/a2=(169)2/(120)2=1.983402778
6)Siguiendo este procedimiento se generan las otras 14 líneas de la tabla Plimpton.
7)Al realizar los siguientes cocientes efectivamente el ángulo q @ 45° y el ángulo g @ 45° . De esta manera después de obtener las ternas pitagóricas y hacer estos cocientes se verifica como q y g varían entre lo dicho.
Cocientes: b/a=tan q =119/120=0.99» 1 y b/c=cosg =119/169=0.7.
La figura esta dividida en 2 triángulos rectángulos iguales del base x , altura h e hipotenusa l ,un rectángulo de base w2 ,altura h y otro rectángulo de base w1,altura dónde son conocidos w1,w2 y h.
w1h-(hx/2)-(hx/2)=w1h-hx=h(w1-x)=h[w1-(w1-w2)/2]=
h(w1-w1/2+w2/2)=h(w1+w2)/2=A
Nótese el uso del análisis geométrico para encontrar x , el empleo de las ternas pitagóricas para encontrar h ,pues h=(l2-x2)1/2 y x=(w1-w2)/2
Los griegos fueron los primeros en atribuir a los antiguos pueblos mesopotámicos un vasto saber astronómico. Simplicio cuenta que, durante la conquista de Alejandro, Calístenes envió a su tío Aristóteles una copia de las observaciones de eclipses babilonias hechas hacía ya mil novecientos años. Más precisas son las informaciones que se han conservado de Gémino y Ptolomeo acerca de las observaciones babilonias. Pero, en general, los antiguos aluden escasamente a las concepciones que tuvieran los babilonios para explicar el universo. Plinio es el único autor antiguo que trató (Historia Natural, VII, 57) de la astronomía mesopotámica.
Desde hace unos cincuenta años, los trabajos de Epping, Kugler, Strasmaier y, más tarde, Schaumbeger, nos han permitido tener una idea más completa y precisa de los conocimientos de aquellos antiguos astrónomos. El despojo metódico de las tablillas y su interpretación correcta han mostrado que la astronomía asirio-babilónica no fue sólo una admirable ciencia de observación, sino también una disciplina teórica en la que las Matemáticas tuvieron un papel de primer orden.
Los textos pueden dividirse en dos categorías. Por orden cronológico, estos textos se distribuyen del siguiente modo:
1.´Dinastia Amorita Reinado de Ammisaduqa (hacia - 1650): observaciones (?) de Venus.
2.III Dinastia (casita):
a) Tablillas de Nippur, la cual sugiere una concepción del mundo formada por ocho esferas concéntricas, siendo la central la lunar.
- Textos que describen el cielo y asignan nombres a las constelaciones.�
- Tablillas mánticas de escaso interés astronómico.
Siglos VIII y VII : a) Tablillas de la serie mul APIN, que resumen los conocimientos astronómicos de la época (clasificación de las estrellas fijas en tres “caminos”, indicaciones sobre la Luna, los planetas, las estaciones, etc.).
d)Observación sistemática de los eclipses.
La segunda categoría de textos es más reciente, por lo menos de redacción. Casi todos son documentos seleúcidas, es decir, posteriores al 311 antes de Jesucristo. Son, además de un nivel científico más elevado. En efecto, a partir del siglo VI, los problemas planteados por la adaptación del calendario lunar a los ritmos solares había llevado a los astrónomos a elaborar una teoría del movimiento de la Luna y, accesoriamente, una teoría de los movimientos planetarios. Estos textos se presentan en forma de tablas (efemérides) que yuxtaponen varias columnas de números. El trabajo más delicado de los comentaristas modernos consistió en interpretar la significación de tales números.
Las observaciones astronómicas continuaron en Mesopotamia hasta la conquista romana. El último de los textos de esta naturaleza es un Almanaque compuesto durante el reinado de Vespasiano.
Astrología y aritmética.
La astrología horoscópica descansa en la creencia en una relación entre la vida humana y la posición de los astros en el momento del nacimiento. Así nació una astronomía de posición : el babilonio no busca una explicación geométrica de los movimientos aparentes de los astros, sino una clave que le permita encontrar mecánicamente la posición de una constelación en un momento dado. De aquí esas tablas, las efemérides.
Lo que interesaba, ante todo, era la posición relativa de un planeta y de un signo zodiacal, un eclipse, un orto helíaco. Resulta de ello que la astronomía de los babilonios fue esencialmente eclíptica.
Los mesopotámicos eran al mismo tiempo notables calculadores. Por eso el registro regular de las posiciones sucesivas de un astro va acompañado, en las tablas de indicaciones numéricas. Un documento encontrado en la biblioteca de Asurbanipal prueba, que el aspecto sinóptico de los datos empíricos afectó en grado sumo a la inteligencia aritmética de los observadores. Se trata de una tabla de “iluminaciones de la Luna” (fases lunares) que describen el crecimiento del astro. El disco lunar se supone dividido en 240 partes, y el número de las partes iluminadas varía, en quince días, de 0 a 240.
En efecto, no se contenta con determinar empíricamente, por su observación de cada noche, la iluminación diaria y su creciente variación. Establece más bien una serie de números muy próximos de los que le suministraría la observación directa, pero obtenidos por un cálculo puro. Los cinco primeros números, que corresponden a los cinco primeros días, están en progresión geométrica, mientras que los diez últimos, correspondientes a los diez últimos días se hallan en progresión aritmética.
Para el astrónomo babilonio, explicar era alcanzar una serie de números ya conocida. Vemos, pues, así que la astronomía mesopotámica era, ante todo, aritmética y posicional.
Instrumentos de observación.
Digamos ahora algo sobre los instrumentos de observación.
- La Alidada: era utilizada para la medición de las distancias angulares de dos estrellas.�
- El gnomon: es el instrumento más sencillo conocido por la Antigüedad. Consiste en una vara plantada verticalmente y cuya sombra se observa. La sombra más corta corresponde al mediodía (paso del Sol por el meridiano). La sombra más corta del año determina el solsticio de verano, y la más larga, el solsticio de invierno.�
- La clepsidra: durante el mal tiempo, y en general por la noche, un cuadrante solar no puede dar la hora. Entonces se utilizaba la clepsidra, recipiente cilíndrico graduado en el que caía el agua de un depósito.�
- El polos: instrumento específicamente mesopotámico, estaba constituido por una semiesfera hueca de gran diámetro y cuya concavidad se orientaba hacia el cielo . Suspendida encima de esa esfera y mantenida en su centro, hay una bolita pequeña que intercepta la luz del Sol y proyecta su sombra sobre la superficie interna de la esfera. El movimiento del Sol se dibuja así con precisión en el fondo del polos. La inclinación de la eclíptica puede leerse en seguida en el aparato, así como las fechas de equinoccios y solsticios.
Desde un punto de vista científico no se puede decir nada preciso acerca de la cosmología babilonia. Aunque fueran también astrólogos, los astrónomos babilonios no se apartaban de los datos directamente observables, y en este terreno sus preocupaciones estaban regidas por un problema fundamental: cómo ajustar el calendario lunar al ritmo del Sol. El movimiento de los planetas y la descripción del cielo eran cuestiones secundarias para ellos .
El calendario lunar.
Para un pueblo de pastores y de agricultores, el reloj ideal es la Luna. Sus fases regulares sugieren la noción de ciclo y suministran la base de una medición primitiva del tiempo. El calendario fue, pues, lunar en los comienzos de la cultura babilonia. Su elemento fundamental es la lunación, o sea, el intervalo de tiempo que separa dos lunas nuevas consecutivas.
Pero la duración de una lunación es variable: está comprendida entre 29 días 6 h. y 29 días 20 h.; la duración media de un mes lunar es de 29 días 12 h., 44 min., 2 seg., es decir, un poco más de 29 días y medio. Así, un calendario que tuviera meses de 29 y 30 días concordaría bastante bien con el ciclo lunar; para que la concordancia fuera completa, sería necesario alargar en un día un mes de 29 días cada treinta meses.
El calendario babilonio clásico, contenía los doce meses siguientes :
- Nisán marzo-abril). 7) Teshrit (septiembre-octubre).
- Air(abril-mayo).
Arahsamma (octubre-noviembre).�
- Siwan(mayo-junio). 9) Kisilimmu (noviembre-diciembe).�
- Tammuz (junio-julio). 10) Tebet (diciembre-enero).�
- AB(julio-agosto). 11) Shebat (enero-febrero).�
- Elul (agosto-septiembre). 12) Adar (febrero-marzo).
Los babilonios dividían el día en doce partes iguales, los beru; cada uno correspondiente a una hora doble. Del modo más natural, concorde con el principio sexagesimal vigente en Mesopotamia, la hora doble fue dividida en 60 dobles minutos, y cada minuto, en 60 dobles segundos.
Un calendario de tal naturaleza plantea dos dificultades. La primera se refiere a la inadecuación entre el año lunar y el año de las estaciones. Doce meses lunares medios suman 345 días, es decir, once días y cuarto menos que el año solar. Al cabo de tres años, la discrepancia es de más de un mes; al cabo de nueve años, habrá una separación de una estación completa. Entonces se hace necesario un reajuste: periódicamente, el Rey añade un decimotercer mes al año, tal como nosotros añadimos cada cuatro años un día a nuestro año civil. Los mesopotámicos hacían corresponder a cada mes el orto helíaco de una o varias estrellas, y cuando ese orto concurría en un mes que no era el habitual, una decisión real creaba aquel año un mes suplementario que llevaba el nombre del mes transcurrido, con la indicación bis.
Pero el calendario lunar comporta una segunda dificultad, que es aún más grave desde el punto de vista científico. El mes babilonio comienza la noche en que el nuevo creciente es visible por vez primera. En ciertas épocas, esta aparición ocurre al día siguiente de la Luna nueva, mientras que en otras temporadas hay que esperar hasta la segunda noche para verlo. En el primer caso, el mes que acaba e transcurrir es de 29 días; en el segundo, es de 30. En la práctica no hay problema alguno si las condiciones de observación del horizonte son buenas (pero éste no era siempre el caso). Pero, ¿Cómo prever la duración del mes de Kisilimmu (diciembre), por ejemplo, cuando se está en Tebet (enero)?. Para contestar a esta pregunta o a la cuestión más general: ¿cuál es la duración del mes lunar?, los astrólogos de la época seléucida establecieron efemérides que tenían en cuenta los diversos factores de la visibilidad del nuevo creciente en el horizonte.
Las efemérides lunares.
A Epping y a Kugler corresponde el mérito de haber interpretado convenientemente las efemérides. Kugler ha mostrado que las efemérides podían clasificarse en dos categorías . En las efemérides del tipo I, la velocidad del Sol se supone constante sobre dos arcos complementarios de la eclíptica. En las efemérides del tipo II, las series de números representan las diversas posiciones del Sol según los meses del año, y no están en progresión aritmética, sino que varían periódicamente.
La duración del mes lunar.
En el momento de la Luna nueva, el Sol, la Tierra y la Luna están en posición de conjunción. Al día siguiente de la Luna nueva, una pequeña parte del hemisferio iluminado estará dirigida hacia la Tierra, y esa parte se agrandará día por día: la Luna está en su primer cuarto. Para ver por primera vez el creciente lunar es necesario que el Sol esté suficientemente por debajo del horizonte, es decir, que la Luna no esté demasiado cerca del Sol. Así, el comienzo del mes lunar depende de la distancia angular Luna-Sol. A partir de cierto valor l de esa distancia, el creciente es visible por vez primera después de la conjunción. La previsión de l sería fácil si el Sol y la Luna tuvieran una marcha regular. De hecho, la distancia angular Luna-sol varía diariamente de 10 a14° , y la Luna gana cada 24 horas una media de 12° de adelanto sobre el Sol. Hay que establecer, pues, una tabla que dé la posición comparada del Sol y de la Luna en los diferentes momentos del año, y examinar cada mes en qué punto se alcanza el valor l . Interviene también otro factor, o sea, la oblicuidad de la eclíptica. Es sabido que aparentemente el Sol describe en un año en ña bóveda celeste un círculo, la eclíptica, inclinado 23° 27 min. En relación con el ecuador. Este círculo puede ser jalonado de puntos de referencia tomados de entre constelaciones próximas: desde épocas antiguas, los observadores han dividido la eclíptica en 12 sectores de 30°, definidos por constelaciones cuyo conjunto forman el Zodíaco.
El principio de un mes lunar está determinado por la primera aparición del cuarto creciente después de la Luna nueva, por tanto, hay que tener en cuenta tanto la velocidad relativa y variable de la Luna y el Sol como la altura de este último sobre el horizonte a mediodía. Las efemérides lunares suministran elementos cuya combinación permite prever la duración de un mes lunar.
El esquema general de una efemérides lunar comprende varias columnas __ 18 columnas en las efemérides del segundo tipo ___, que precisan, además de los desplazamientos mensuales del Sol y de la longitud eclíptica del Sol y de la Luna en las conjunciones, la duración del día y de la noche, las variaciones de la velocidad de la Luna, la duración del mes sinódico teniendo en cuenta el movimiento variado del Sol y la Luna, las fechas de las conjunciones consecutivas, las variaciones de la distancia Luna- Sol, de la inclinación de la eclíptica sobre el horizonte y de la latitud de la Luna.
Todos estos datos permiten calcular un parámetro p que mide el tiempo durante el cual el nuevo cuarto permanecerá por encima del horizonte tras la puesta del sol: si p es lo bastante grande, queda determinada la tarde que señala el principio del nuevo mes; si p es demasiado pequeño, es necesario que transcurra todavía un día antes de que empiece el nuevo mes ; si p es demasiado grande, el mes ha empezado ya.
Los eclipses.
Desde la época de Sargón en Antiguo parece que los babilonios eran capaces de prever, sin demasiado error, los eclipses, y ello aún antes de haber poseído los datos sistematizados por las efemérides. Esto se debe al hecho de que los eclipses de Luna están relacionados con observaciones sencillas: los eclipses ocurren siempre durante la Luna llena, es decir, hacia la mitad del mes civil; por otra parte, se observan sólo cuando la Luna corta la eclíptica, y los babilonios eran grandes observadores de esta región del cielo.
Los planetas.
Los babilonios se dedicaron sobre todo, a determinar las apariciones, desapariciones y estaciones de los planetas, y a estudiar la periodicidad de esos fenómenos. Este estudio acabaría por llevarlos a determinar secundariamente, y por extrapolación, la posición de un planeta P en un momento t cualquiera.
En términos generales, los astrónomos de Babilonia procedían analíticamente. En las diferentes ramas de su astronomía, reunieron principalmente resultados, que agruparon, sistematizándolos según una tradición y un método que se ha encontrado ya al estudiar los textos matemáticos.
CONCLUSIONES Y COMENTARIOS
1)Llegaron a ser hábiles calculadores (gran numero de tablas numéricas);
2)Consiguieron resolver un conjunto variado de ecuaciones algebraicas
3)Desarrollaron algunos elementos de geometría y teoría de números
4)Poseían evidentemente un calendario, y la astronomía era muy popular
5)Los conocimientos se aplican a problemas de interés compuesto, excavaciones y construcción , así como a la obtención de resultados prácticos para las actividades corrientes.
Pero no vemos, sin embargo , casi nunca, la más mínima preocupación por justificar y probar las reglas utilizadas y raras veces podemos, en la resolución de problemas, darnos cuenta de las razones que permiten definir cada etapa.
También vemos la falta de una notación eficiente para escribir los problemas pues el lenguaje retórico hace difícil comprender y manipular tanto los enunciados como las soluciones.
BIBLIOGRAFIA:
1.-O.NEUGEBAUER: “The exact sciences in antiquity”; 2nd edition, Dover publications inc. N.Y.
2.-DIRK JAN STRUIK:”Historia concisa de las matemáticas” consejo editorial del I.P.N. 1980.
3.-H.L.RESNIKOFF,R.O.W.jr:”Mathematics in civilization” ,Dover publications inc. N.Y.
4.-LUCAS N.H.BUNT,PHILLIP S.JONES, JACK D.BEDIENT: “The Historical roots of elementary mathematics”; Dover publications inc. N.Y.
5.-ASGER AABOE: “Episodes from the early history of mathematics”; The mathematical association of America.
Incluso una de las primeras representaciones eróticas que se conocen, en un relieve sobre terracota, fue concebida en esa civilización.
La reconstruida Puerta de Ishtar, de permanente exposición en el museo de Pérgamo. (Foto: EFE)
Tablilla Plimpton 322
En el año de 1945 Neugebauer y Sachs publicaron textos matemáticos cuneiformes donde por primera vez el contenido de la tabla Plimpton era descifrado y analizado. Esta tablilla lleva el numero 322 del catálogo de la colección Plimpton de la universidad de Columbia .Está escrita en cuneiforme y data del periodo 1900-1600 a.C. Cuando se encontró esta tablilla faltaban algunas secciones pero esto no fue impedimento para su reconstrucción completa a partir de la información que se tenía.Ahora se mostrara la tabla Plimpton traducida al sistema sexagesimal, el cual fue usado por los babilonios. Esta reproducción fue publicada por Neugebauer:
Todos estos ‘Mitos’, explica Schuster, son enderezados en el apartado de la ‘Verdad’. Allí se devuelve a Nabucodonosor II su papel de gran estadista y amante de la belleza, que en la segunda parte de su reinado llevó a Babilonia a su máximo esplendor. Atrás queda la imagen de bestia sangrienta más ocupada en reprimir y conquistar a otros pueblos.
Durante mi visita a Babilonia , delante de la reconstrucción de la Puerta de Ishtar
La bíblica destrucción de la Torre de Babel por ve , que condena a los hombres a hablar un millar de lenguas distintas, puede tener una explicación en que durante el reinado del monarca caldeo Babilonia se había convertido en una ciudad multicultural por su tolerancia, en cuyas calles de podían escuchar todas las lenguas del mundo, desde el acadio-babilonia y arameo a la egipcia, el persa o el griego.
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Estupendo aporte…..